2024. április 24.

Nemzeti Erőforrás Minisztérium

Közoktatás

Felsőoktatás

Kultúra

Nemzetközi kapcsolatok

Egyház

Tudomány

English

Alap séma

Főoldal » Közoktatás » Tantervek » Archívum

Ez az oldal csak archívum, tartalma ELAVULT – kérjük, látogassák meg a tárca honlapját itt.

Matematika

2005. október 16.

Cikk nyomtatás

Link küldés

Alapelvek, célok

Az iskolai matematikatanítás célja, hogy a megfelelő nevelő, orientáló és irányító funkciók ellátásával lehetőleg hiteles - ezért egységes, összefüggő - képet nyújtson a matematikáról, nemcsak mint kész, merev ismeretrendszerről, hanem mint sajátos emberi megismerési tevékenységről, szellemi magatartásról. A matematikatanítás formálja és gazdagítja az egész személyiséget, a gondolkodást érzelmi és motivációs vonatkozásokban egyaránt, alkalmazásra érett ismereteket nyújt. A matematikai gondolkodás területeinek fejlesztésével emeli a gondolkodás általános kultúráját. Szerepe a matematika különböző arculatainak bemutatása és érvényre juttatása, úgy mint: kulturális örökség, gondolkodásmód, alkotótevékenység, a gondolkodás örömének forrása, a mintákban, struktúrákban tapasztalható rend és esztétikum megjelenítője, tudomány, egyéb tudományok segítője, az iskolai tantárgyak segítője, a mindennapi élet és a szakmák eszköze.

A műveltségi terület a matematika különböző témaköreinek szerves összeépülésével kívánja a matematika és a matematikai gondolkodás világát feltárni. A matematikai fogalmak, összefüggések érlelése és a gondolkodásmód kialakítása az egyre emelkedő szintű spirális felépítést indokolja az életkori, egyéni fejlődési és érdeklődési sajátosságoknak, a bonyolódó ismereteknek, a fejlődő absztrakciós képességnek megfelelően. Ez a felépítés lehetővé teszi a lassabban haladókkal való foglalkozást és a tehetség kibontakoztatását egyaránt.

A műveltségi terület céljainak, feladatainak megvalósíthatóságát az 1-4. évfolyam fejlesztési tevékenysége meghatározó jelleggel alapozza meg. Ezért alapvető fontosságú, hogy a későbbi fokozatok tanárai ismerjék, mélyen értsék az ott folyó fejlesztés jellegét és részleteit. Ez az oka annak, hogy az 1-4. osztályos tevékenységek kifejtése lényegesen részletesebb a folytatásnál.

A célok és feladatok teljesíthetősége igényli, hogy a tananyagok megválasztásában a tanulói érdeklődés és a pályaorientáció egyre nagyobb szerepet kapjon. Az életkori szakaszok folyamatában a differenciálásnak is egyre nagyobb szerepet kell kapnia. A differenciálás nemcsak az egyéni igények figyelembevételét jelenti (tananyag-kiválasztás, módszerek, eszközök, segítségadás stb. alkalmazásában). Például sokszor az egész csoport számára az alkalmazhatóság, más esetekben a tudományos igényesség vezérelheti a tananyagnak és tárgyalásmódjának a megválasztását.

A matematika műveltségi terület fejlesztésének kiemelt területei a következők:

a személyiség tiszteletére nevelés,
a beszélt és írott kommunikációs kultúra: mások szóban és írásban közölt gondolatmenetének meghallgatása, megértése; saját gondolatok közlése; a jelenségek értelmezéséhez illeszkedő érvek keresése; az érveken alapuló vitakészség fejlesztése,
a matematika természettudományokban, társadalomtudományokban, a humán kultúra számos ágában betöltött fontos szerepének az értése, a döntési kompetencia fejlesztése;
a modellek érvényességi körének és a gyakorlatban való alkalmazhatóságának eldöntésére alkalmas kompetenciák és képességek kialakítása;
a jelenségekhez illeszkedő modellek, gondolkodásmódok (analógiás, heurisztikus, becslésen alapuló, matematikai logikai, axiomatikus, valószínűségi, konstruktív, kreatív stb.), módszerek (aritmetikai, algebrai, geometriai, koordináta geometriai, statisztikai stb.) és leírások kiválasztásának és alkalmazásának tudása;
a matematikai ismeretek gyakorlati alkalmazása;
hozzájárulás a történeti szemléletmód kialakításához;
a tanulás, a matematikatanulás szokásainak, képességének alakítása;
a reproduktív, problémamegoldó, alkotó gondolkodásmód fejlesztése;
a pontos, kitartó, fegyelmezett munka végzése, az önellenőrzés igénye, módszereinek megismerése és alkalmazása;
alapvető tevékenységek (pl. mérés, alapszerkesztések), műveletek (pl. aritmetikai, algebrai műveletek, transzformációk) automatizált végzése.

A fejlesztési feladatok szerkezete

1. Térben és időben való tájékozódás

1.1 Tájékozódás térben

1.2 Tájékozódás időben

1.3 Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban

2. Megismerés

2.1 Tapasztalatszerzés

2.2 Képzelet

2.3 Emlékezés

2.4 Gondolkodás

2.5 Ismeretek rendszerezése

2.6 Ismerethordozók használata

3. Ismeretek alkalmazása

4. Problémakezelés és -megoldás

5. Alkotás és kreativitás: alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás

6. Akarati, érzelmi, önfejlesztő képességek és együttéléssel kapcsolatos értékek fejlesztése

6.1 Kommunikáció

6.2 Együttműködés

6.3 Motiváltság

6.4 Önismeret, önértékelés, reflektálás, önszabályozás

7. A matematika épülésének elveiben való tájékozottság

A fenti fejlesztési területeket a matematika tanítása során tudatosan terveznünk kell. Ez a fejlesztés nem "mennyiségi", hanem a tanulók tempójának megfelelő minőségi fejlesztés kell hogy legyen. Természetesen nem lehet valamennyi fejlesztési cél mindig egyaránt hangsúlyos. Egy-egy tevékenység során a helyzetnek megfelelően állapítja meg a tanár azokat, amelyeket kiemelten szem előtt kíván tartani.

Fejlesztési feladatok

1. Tájékozódás

1.1 Tájékozódás térben

1-4. évfolyam	5-6. évfolyam	7-8. évfolyam	9-12. évfolyam
Tájékozódás (pl. az osztályban, iskolában, iskola környékén) nagytesti mozgással; mozgássor megismétlése, mozgási memória fejlesztése.
	Mozgási memória fejlesztése; mozgássor megismétlése visszafelé.
Tájékozódás a külső világ tárgyai szerint; tudatosított tájékozódási pontok szerint; a tájékozódást segítő viszonyok megismerése (pl. mellett, alatt fölött, között, előtt, mögött). Tájékozódás a síkban (pl. tájékozódás a füzetben, könyvben; tájékozódás a síkban ábrázolt térben; tájékozódás szavakban megfogalmazott információk szerint).
Tájékozódás a tanuló saját mozgó, forgó testének aktuális helyzetéhez képest (pl. a bal, jobb szavak megjegyzése a gyerek testi dominanciája szerint, illetve dominancia hiányában saját testi jelhez kötötten).
	Tájékozódás a másik ember nézőpontja szerint.
	Tájékozódás különféle koordináták szerint; hosszúság, távolság, irány, szög. Számegyenes, derékszögű koordinátarendszer. A dimenzió megértése. Térbeliség ábrázolása két dimenzióban (pl. Kótás alaprajz használata).	Koordinátamódszer; vektorok síkban és térben. Térbeliség ábrázolása két dimenzióban: takarás, célszerű síkmetszetek.
	Tájékozódás a valóságos viszonyokról térkép és egyéb vázlatok alapján (pl. térképolvasás, térképek készítése; térbeli mérési adatok felhasználása számításokban).
	Térképkészítési elvek megértése; tájékozódást segítő eszközök (pl. iránytű) használata; arányérzék fejlesztése; a valóságos viszonyok becslése térkép alapján.

1.2 Tájékozódás időben

1-4. évfolyam	5-6. évfolyam	7-8. évfolyam	9-12. évfolyam
A múlt, jelen, jövő megértése adott időpillanatban (pl. előbb, ezután).
A múlt, jelen, jövő mint folytonosan változó fogalmak, például az előtte, utána (korábban, később) viszonyok megértése, használata; folyamat mozzanatainak időbeli elrendezése; szöveges feladatok, amelyekben az időrendnek szerepe van.
	A ciklusonként átélt idő lineáris időfogalomként kezelése; időtartam, időpont. Az időtartam mérése; időérzék fejlesztése. Különböző időmérések és az időmérés különböző elvi alapjainak megértése; a különböző kultúrák időmérése.
		Időzónák (tér és idő).
			Periodikus jelenségek.

1.3 Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban

1-4. évfolyam	5-6. évfolyam	7-8. évfolyam	9-12. évfolyam
Tárgyak, személyek, alakzatok, jelenségek, összességek összehasonlítása mennyiségi tulajdonságaik (magasság, szélesség, hosszúság, tömeg, űrtartalom, térfogat, darabszám) szerint; becslés; mennyiségek fogalmának alapozása.
A mennyiségi jellemzők kifejezése számokkal; a számok értelmezése a valóság mennyiségeivel. Például mérőszám és darabszám (halmaz számossága); természetes szám, racionális szám, valós szám; pontos szám és közelítő szám.
		Távolság és számok abszolútértékének kapcsolata.
			Mérési elvek azonos mennyiséggel és nem azonos mennyiséggel (pl. terület mérése területegységgel és hosszúságokkal, szög mérése szöggel és ívvel).

2. Megismerés

2.1 Tapasztalatszerzés; a tapasztalatok tudatosítása, közlése, rögzítése, jelölése, ezek értelmezése, visszaolvasása

1-4. évfolyam	5-6. évfolyam	7-8. évfolyam	9-12. évfolyam
Finommotoros mozgáskoordinációk: apró tárgyak, korongok, pálcikák, rudak rakosgatása, ceruza, füzet, négyzethálós lap, vonalzó, körző használata stb.
Statikus helyzetek, képek, tárgyak megfigyelése.
Különféle érzékszervek együttműködése révén: pl. másolás, alkotás emlékezetből való rekonstruálása, tájékozódás mozgássor tagolatlan másolásával; látott, hallott helyzet, kép összképben való felismerése, azonosítása, megkülönböztetése, rekonstruálása Az észlelés pontosságának fokozása.
Tárgyak tulajdonságainak kiemelése (analizálás); összehasonlítás, azonosítás, megkülönböztetés; osztályokba sorolás, sorba rendezés különféle tulajdonságok szerint a különféle érzékszervek tudatos működtetésével; a figyelem terjedelmének és tartósságának növelése, tudatos, célirányos figyelem; elemek, tulajdonságok megnevezése. Az érzékelés pontosságának fejlesztése, a tudatosodás segítése. Közös tulajdonságok felismerése; tulajdonság tagadása mint szintén közös jellemző.
Szétválogatás két szempont szerint; megosztott figyelem; két, több szempont egyidejű követése. Halmazok eszköz jellegű használata.
Pontos megfigyelés statikus szituációkról, lényegkiemelés. Pl. Helyzetről, képről kirakás, rajz, egyszerűsített kirakás. Egyszerűsített rajz készítése lényeges elemek megőrzésével, lényegtelenek figyelmen kívül hagyásával (analizálás elvontabb szinten). Számjelek bevezetése.		Modellezés; fogalmak, összefüggések megjelenítése (szintetizálás).
Kétváltozós műveletek értelmezésének tapasztalati előkészítése; kétváltozós műveletek értelmezése (mint a különféle konkrét tartalmú műveletek szintézise); Műveleti jelek; számok összetett alakjainak használata.
	Oszthatósági szabályok felismerése; sík- és térbeli alakzatok csoportosítása.
Változó helyzetek megfigyelése:	Kísérletek (pl. valószínűségi kísérletek) végzése, a történés többszöri megfigyelése.
A változás lejátszása saját testi mozgással, manipulatív úton tárgyi eszközökkel; visszafordítása saját testi mozgással, manipulatív úton; a nagytesti mozgás és a finommotoros
mozgáskoordináció fejlesztése. Műveletek tárgyi megjelenítése.
	Geometriai alkotások létrehozása szabadon és másolással; transzformációk elvégzése, a "kép" eredetijének megalkotása.
Változó helyzetek, időben lejátszódó történések megfigyelése, szavakban való megismétlése; a változás kiemelésének tudása (analízis); az időbeliség tudatosítása. Változást leíró műveletértelmezések tapasztalati alapozása, két képben való ábrázolása; egyváltozós műveletértelmezések (mint a különféle konkrét tartalmú műveletek szintézise); a változás jelölésére a nyíljelölés bevezetése, a változást kifejező műveletek használata.
Adatok jegyzése, rendezése, ábrázolása. Együttváltozó mennyiségek összetartozó adatpárjainak, adathármasainak jegyzése: függvények, sorozatok alkotása, értelmezése stb.; matematikai modell keresése változások leírására. Geometriai transzformációkban megfigyelt megmaradó és változó tulajdonságok tudatosítása.
Szavakban (pl. szöveges feladatokban) megfogalmazott helyzet, történés megfigyelése; a figyelem irányítása; tartósságának növelése; értelmezése: lényeges és lényegtelen információk szétválasztása;
Szavakban megfogalmazott helyzetről, történésről matematikai "szöveg" írása. Matematizálás: matematikai modellek választása, keresése, készítése, értelmezése adott szituációkhoz. (Pl. egyszerűsített rajz, számfeladat, nyitott mondat, sorozat, táblázat egyenletmegoldási módszerek, gráfok).
Rajz, kirakás és adatok értelmezése: a lejátszott történés visszaidézése; az elmondott, elolvasott történés visszaidézése. Statisztikai diagramok értelmezése
Rajzolt, illetve tárgyi jelek értelmezése tevékenységgel, történés kitalálásával; matematikai jelek - (számjelek, műveleti jelek, <, >, =, 1, », L, 3, (...) stb.) értése.
Szavakban megfogalmazott helyzetről, történésről készült matematikai "szöveg" értelmezése. Konkrét matematikai modellek (nyitott mondat, szakaszos ábra stb.) értelmezése a modellnek megfelelő szöveges feladat kitalálásával.
Tudatos megfigyelés elvont szituációkban; analízis, azonosítás, megkülönböztetés adott tulajdonságok szerint; a célirányos, akaratlagos figyelem fejlesztése; szemponttartás. (pl. tárgyak, jelenségek, jelenségek közti kapcsolatok, elvont fogalmak, elvont jelenségek azonosságainak, különbözőségeinek kiemelése; ponthalmazok megadása ábrával, algebrai formulával); felismert tulajdonságok és kapcsolatok szerint (szabály intuitív követése, a szabályosság felismerésének kifejezése, például folytatással, a nem oda illő elhagyásával; a szabály tudatosítása példák sorolásával; általánosítás, általános megfogalmazás); változó szempontok, feltételek szerint; szempontok önálló megválasztása.
Esetfelsorolások, diszkusszió a szempontok, feltételek, paraméterek önálló megválasztásával és változtatásával (pl. kombinatorika, egyenletek, szerkesztések).

2.2 Képzelet (követő, alkotó)

1-4. évfolyam	5-6. évfolyam	7-8. évfolyam	9-12. évfolyam
Elmondott, olvasott történés, helyzet képzeletben való követése; megjelenítése lejátszással, kirakással, képpel.
Lejátszódott esemény újra átélése képzeletben. Esemény folytatásának elképzelése, a képzelt folytatás lejátszása.
Tárgyhű és elvontabb képek és jelek alapján történés, szituáció elképzelése.
Számok, műveletek, egyéb matematikai szimbólumok (képek, képpárok, szakaszos ábrák, diagramok, grafikonok, táblázatok, műveletek, nyitott mondatok stb.) alapján az általuk leírt valóságos helyzetek, történések, összefüggések elképzelése. A szabványos mértékegységekhez tartozó mennyiségek és többszöröseik, törtrészeik képzeletben való felidézése.
Adott tárgy, elrendezés, kép más nézőpontból való elképzelése, például testek építése különböző nézeteikből, vetületeikből.
Feltételeknek megfelelő alkotások elképzelése a megalkotások előtt; vázlatos ábrák alkotása; a tényleges alkotás összevetése az elképzelttel. Szerkesztések különféle szerkesztési eszközökkel és eljárásokkal.
Képzeletben történő mozgatás (átdarabolás elképzelése; testháló összehajtásának, szétvágások elképzelése; testek különféle síkmetszetének elképzelése stb.)
Probléma megoldásának elképzelése, becslés, sejtés megfogalmazása; megoldás után a képzelt és tényleges megoldás összevetése.

2.3 Emlékezés

1-4. évfolyam	5-6. évfolyam	7-8. évfolyam	9-12. évfolyam
Motoros emlékezés (tájékozódás mozgások felidézésével; formára való emlékezés a tapintás alapján, nagymozgással és finomabb mozgásokkal; számmemória fejlesztése mozgásokhoz kapcsolva, összefüggésekre való emlékezés végrehajtott cselekvéssor alapján; alapszerkesztések; mozgással létrehozott vagy mozgással is összeköthető ritmus, minták és szerkezetek felidézése; sorozatok); auditív emlékezés.
Képi emlékezés statikus helyzetekben (kép, helyzet felidézése összképben; részletek felidézése; a szabvány mértékegységek nagysága; összesség felidézése: darabszám, elemek, elrendezés, sorrend; minták és szerkezetek felidézése statikus képen; jelek helyzetének, alakjának felidézése; függvények grafikus képe).
Történésre való emlékezés (lejátszott és lejátszódott események felidézése; emlékezés a részletekre, időrendre; kombinatorikus összeszámlálások; kísérlet, megfigyelés eseményeinek felidézése; az emlékezést segítő jegyzetek, rajzok, jelek készítése, használata, visszaolvasása; a feljegyzés használatának szokásainak kialakítása).
Szóbeli és írásbeli információkra és kérdésekre való emlékezés (információk felidézése; adatok, feltételek megjegyzése a feladatmegoldás idejére; elnevezések, jelek, jelölések és egyéb megállapodások megjegyzése akár örökre; definíciókra való emlékezés).
Elmondott, elolvasott történetre, problémákra való emlékezés; szöveges feladat lényegileg pontos felidézése; emlékezést segítő ábrák, vázlatok, rajzok készítése, visszaolvasása. Adatokra és összefüggéseikre való együttes emlékezés.
Ismeretek tudatos memorizálása, felidézése; a megtanulást segítő eszközök megismerése. Tényismeretek memorizálása, mozgósítása (pl. a kéttagú összegek és a megfelelő különbségek a 20-as számkörben; a szorzótábla eseteinek megtanulása; megismert testek, síkidomok tulajdonságai, nevezetes azonosságok). Ismeretek megtanulásához összefüggések felhasználása, jegyzetek készítése, visszaolvasása; tudatos gyakorlás; ismeretek mozgósítása kérdésre, alkotás létrehozásához, új ismeret szerzésében, az új ismeret beillesztéséhez, problémamegoldáshoz. Eljárásokra, módszerekre való emlékezés (pl. tanult algoritmusok felidézése, használata, analógiák alapján való műveletvégzések; mérési módszerek; transzformáció végrehajtása a sík mozgatásával; azonos átalakítások; elsőfokú és másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása, műveletek egyszerű algebrai törtkifejezésekkel). Megértett állításokra, szabályokra, összefüggésekre való emlékezés (viselkedési, mozgásos, játékra vonatkozó szabályok felidézése; tények közti kapcsolatok, viszonyok, összefüggések felidézése; állítások, tételek jelentésére való emlékezés; elvontabb összefüggések megjegyzése). Érvelésre, cáfolásra, következtetésre való emlékezés; gondolatmenetre való emlékezés, új helyzetekben való alkalmazása.
			Bizonyítási módszerek (definíciók, sejtések, tételek megkülönböztetése, átfogalmazása, skatulyaelv, összes eset végigkövetése stb.).

2.4 Gondolkodás

1-4. évfolyam	5-6. évfolyam	7-8. évfolyam	9-12. évfolyam
Összehasonlítás, azonosítás, megkülönböztetés; különbözőségek, azonosságok tudatosítása, megállapítása, jelölés.
Osztályozás egy és egyszerre két (több) saját szempont szerint, adott, illetve elkezdett válogatásban felismert szempont szerint a dolgokat jellemző tulajdonságok tudatosítása és az objektumok alaposabb megismerése céljából.
Sorba rendezés. Sorozatok létrehozása (folytatása, kiegészítése) valamely szubjektív vagy objektív tulajdonság tudatosítására és a sorba rendezett elemek jellemzésére.
Megítélés, döntés: Célszerűség szerint (feladatok megítélése aszerint, hogy van-e bennük felesleges vagy ellentmondó adat; elegendő-e az információ; megállapodás célszerű volta: célszerű-e egy megállapodás, jelölés, pl. a⁰=1; tanult ismeret eljárás, megoldási mód megítélése célszerűsége szerint);
Jelentéstartalom szerint (szituáció megítélése aszerint, hogy determinisztikus vagy véletlentől függő; megállapítás megítélése aszerint, hogy van-e értelme; aszerint, hogy egyértelmű-e; fontossága szerint; aszerint, hogy összhangban van-e a tapasztalattal, egy másik kijelentéssel).
		Két állítás megítélése aszerint, hogy jelentésük milyen viszonyban van egymással (függetlenek; ugyanazt jelentik; egymást kizárják, de nem tagadásai egymásnak; egymás tagadásai); egy megoldás megítélése aszerint, hogy összhangban van-e a feltételekkel (valósággal, gyakorlati igényekkel).
		Megítélés értékek szerint (egyértelműség, érthetőség, egyszerűség, szépség, gyakorlati felhasználhatóság); információ megítélése aszerint, hogy fontos-e, illetve felhasználjuk-e az adott szituációban, adott kérdés eldöntéséhez, adott probléma megoldásához.
Állítások megítélése igazságértékük szerint; nyitott mondatok lezárása behelyettesítéssel és kvantorokkal; megoldásuk.
			Következtetés megítélése helyessége szerint.
Megértés:
Ismert tartalmú utasítás, közlés megértése; új helyzetben adott utasítás megértése példa segítségével és anélkül.
Kérdés tartalmának megértése adott tárgyi szituációban és megfogalmazott problémában (szituáció, változás, szöveges feladat, egyéb probléma értelmezése lejátszással, kirakással, tárgyhű, illetve egyszerűsített rajzzal, átfogalmazással; adatok felfogása, lényegtelenek elhagyása, lényegesek kiemelése, rögzítése, kapcsolatuk feltárása, szerepük értése; adatokra és összefüggéseikre vonatkozó jelölések használata, értése; folyamat fordított lejátszása; az időbeliség megértése).

			Fogalmak egymáshoz való viszonyának megértése, összefüggés megértése (alá- és fölérendeltségi viszony; mellérendeltség megértése; rendszer felfogása; a rendszerezés módszere).
Matematikai modellek (pl. számok, műveletek, nyitott mondatok, sorozatok, függvények, táblázatok, rajzos modellek, diagramok, gráfok, grafikonok) megértése; átkódolás más modellbe. Adott modellhez példa, probléma megfogalmazása.
			Gondolatmenet követése; egyszerű gondolatmenet megfordítása. Oksági kapcsolatok megértése.
Gondolkodás a saját gondolkodási folyamatokról
Következtetés további igazságokra (példák, ellenpéldák keresése, alkotása; egy lépéses intuitív következtetés további állítások igazságára, amely még nem társul tudatos nyelvi megfogalmazással). Egyszerű bizonyítások.
		Bizonyítások: állítás tagadásával; állítás megfordításával.
Absztrahálás, konkretizálás (fogalmak megalkotása, besorolás adott fogalom alá). Egyedi tapasztalatok, modellek; általános tapasztalatok, univerzális modellek értelmezése (pl. ujjszámolás; számrendszerek, különféle számalakok, különféle alakú, de azonos értelmű kifejezések, állítások; műveleti tulajdonságok; számolás műveleti tulajdonságok és kapcsolatok alapján, analógiák segítségével). Újabb elemek besorolása a megalkotott belső kép alá: ráismerés. A megértett fogalmi jegyeknek megfelelő további konkrétumok keresése, alkotása. Generalizáló absztrakció (fogalmi általánosítás). Pl..: "kis" számokból természetes szám és egységtört fogalom.
	Természetes szám, egész szám.	Racionális szám.	Valós szám.
	Az aritmetikai műveletek újraértelmezése, kiterjesztése, új műveletek értelmezése (hatvány, gyök, logaritmus).
		Analógiás gondolkodás és korlátai.
		Idealizáló absztrakció (kör, háromszög, négyszög...; pont egyenes, sík, tér).
	Általánosítás, specializálás, példák, ellenpéldák keresése, alkotása (az általános állítás igazolása következtetéssel; bizonyítás; a tévedés megmutatása ellenpéldával, cáfolás).
A gondolkodás és a nyelv összefonódása, kölcsönhatása
A szó mint egy-egy komplexumhoz, előfogalomhoz, fogalomhoz tartozó példák osztályának jelölője. Köznyelvi kifejezések és szakkifejezések. Jelek szerepe, alkotása, használata (a számjelek, az =, 1, <, L,+, @, ®, \|, A, 1, ± stb. jelek szükségességének megteremtése, a jelek bevezetése, használata). Mondatok szerkezetének panelként való használata, felfogása. Saját gondolatok közlése egyszerű állítások formájában; ilyen közlések értése. Értő-elemző olvasás fejlesztése. Írásban kapott utasítás végrehajtása, helyzetleírás rekonstruálása.
	A matematikai logika nyelvének fokozatos megismerése, tudatosítása. A köznyelvi kötőszavak és a matematikai logikában használt kifejezések jelentéstartalmának összevetése; a matematikai logika nyelvi sajátosságainak elfogadtatása; "és", "vagy", "ha ... akkor", "minden", "mindegyik", "van olyan".
Gondolatmenet. Tevékenységbe öltöztetés (alkotás végrehajtása és ennek időrendben való elmondása; manuális problémamegoldás megismétlése szavakban stb.). Elképzelt tevékenység gondolatban és szavakban való végigjárása (pl. alkotás, problémamegoldás tervének elmondása). Elmondott gondolatmenet követése.
Átélt folyamat lejátszása.	Átélt folyamat leírása szabad szöveggel; közösen kialakított megfogalmazások.	Átélt folyamat gondolatmenetének leírása szavakkal, szimbólumokkal.
	Átélt folyamatról készült leírás gondolatmenetének értelmezése (pl. egy szerkesztés leírt lépéseiről a folyamat felidézése, összevetés saját emlékkel, feljegyzéssel, a feljegyzések tartalmának összevetése; a leírás vizsgálata abból a szempontból, hogy ténylegesen megfelel-e az átélt folyamatnak).
		Megismert gondolatmenet panelként való felhasználása új folyamatban Gondolatmenet tagolása.
Algoritmus követése, értelmezése, készítése.
Oksági kapcsolatok keresése.	Következtetések. Egylépéses következtetések. Egyenlet- és egyenlőtlenségmegoldás következtetésekkel.		Egy- és többlépéses bizonyítás. Tétel igazságának eldöntése; tétel megfordítása; ekvivalencia. Ekvivalens átalakítások nyitott mondatok között. A sejtés és a bizonyított állítás tudatos megkülönböztetése. Deduktív gondolkodás tudatos megalapozása. Egyszerű alapfogalmak és axiómarendszerek; néhány következmény. A permanencia elvének alkalmazása.

2.5 Ismeretek rendszerezése

1-4. évfolyam	5-6. évfolyam	7-8. évfolyam	9-12. évfolyam
Fogalmak egymáshoz való viszonya: alá- és fölérendeltségi viszony; mellérendeltség. Rendszerezést segítő eszközök és algoritmusok megismerése: fadiagram, táblázat, számítógépes programok.
			A gondolat mint definíció, (ekvivalens definíciók) a gondolat mint tétel.
			A matematika különböző területei közötti kapcsolatok tudatosítása. (Pl. halmazműveletek és a nyelv logikai elemei közti kapcsolat; nyitott mondat megoldása és a függvények kapcsolata; egyenletmegoldási módszerek különféle témakörökben: algebrai, grafikus, táblázatos vagy közelítéses megoldás...).

2.6 Ismerethordozók használata

1-4. évfolyam	5-6. évfolyam	7-8. évfolyam	9-12. évfolyam
A tanulás manipulatív eszközeinek célszerű használata (színesrúdkészlet, mérőszalag, logikai készletek, játékok, számtáblázatok, modellező készletek).
Könyvek (matematikai zsebkönyvek, szakkönyvek, ismeretterjesztő könyvek, lexikonok, feladatgyűjtemények, táblázatok, képletgyűjtemények), számológépek, számítógépek használata.
Tanári segítség, társak segítsége; (az ismeretszerzés szervezése, jó munkalégkör biztosítása, érdekes problémák, projektek szerepeltetése, kérdések felvetése, szakkörök, táborok, versenyek stb.).
Oktatási-tanulási technológiákkal való megismerkedés, azok értelmes, interaktív használata (internet, CD stb.).
Nyitottság és önbizalom az újjal való ismerkedéshez.

3. Ismeretek alkalmazása

1-4. évfolyam	5-6. évfolyam	7-8. évfolyam	9-12. évfolyam
Friss vagy felfrissített ismeretek, információk, felismerések közvetlen alkalmazása egyszerű utasítás végrehajtásában, döntésben.
Régebbi ismeretek, információk, felismerések mozgósítása, felhasználása az ismeretszerzés szituációjával analóg helyzetben (pl. egyenletrendszerek megoldása megismert módszerrel).
Régebbi ismeretek mozgósítása, összeillesztése, felhasználása új helyzetben; sejtés, ellenőrzés.
Alkalmazás az újabb ismeretek megszerzésében; új tapasztalatok visszarendezése előfogalmakhoz, fogalmakhoz.
	Alkalmazás problémamegoldásban (az ismert elemek kiválogatása, tudatosítása, rendezése, rögzítése; elválasztásuk az ismeretlen, keresett elemektől; az ismert és ismeretlen elemek közti lehetséges kapcsolatok feltárása; a problémamegoldás szempontjából megfelelő kiválasztása, pl. műveletek értelmezése racionális számok körében).
	Alkalmazás a gyakorlati életben és más tantárgyak keretében (pl. százalék, kamatos kamat, terület-, felszín-, térfogatszámítás, relatív gyakoriság, valószínűség, logaritmus függvény).
		Alkalmazás érvelésben, sejtések, indoklások megfogalmazásában, bizonyításban, cáfolásban.
		Alkalmazás alkotásokban (pl. transzformációk alkalmazása szerkesztésben; szerkesztések alkalmazása összetett számítási feladatokban).

4. Problémakezelés és megoldás

1-4. évfolyam	5-6. évfolyam	7-8. évfolyam	9-12. évfolyam
Probléma felismerése (problémahelyzet átélése); problémaérzékenység.
Szituációban, történetben megfogalmazott, olvasott probléma megértése; a megértést segítő eszközök alkalmazása (lejátszás természetes helyzetben, képalkotás, kirakással való lejátszás, beszélgetés a helyzetről, kérdések megfogalmazása, ismert, a probléma szempontjából lényeges adatok tudatosítása, elválasztása a lényegtelenektől).
		Az ismert elemek és az ismeretlen momentumok "ütköztetése"; sejtések, kérdések megfogalmazása. Egyszerű probléma áttekintése.
		A probléma megoldására való készség, a probléma vállalása. Sikertelen megoldási kísérlet után újjal való próbálkozás. A sikertelenség okának feltárása (pl. kihagytunk egy feltételt).
		A problémához hasonló egyszerűbb (már megoldott) probléma keresése.
		Önálló eljárások keresése, megoldási kísérletek, tippelések szabad végzése, összevetése a kapott információkkal, valósággal.
		A problémához illeszthető matematikai modell választása, keresése, alkotása. (A probléma részekre bontása; összetett probléma áttekintése. Átfogalmazás más, ismertebb problémává; analógia keresése.)
Megoldás a matematikai modellen belül. Matematikai modellek (pl. nyitott mondatok, gráfok, sorozatok, függvények, függvényábrázolás, számítógépes programok, statisztikai elemzések) ismerete, alkalmazásának módja, korlátai (pontosság, értelmezhetőség). Önellenőrzés; az eredményért való felelősségvállalás.
Többféle megoldási mód keresése, az alternatív megoldások összevetése.
	A problémához leginkább illő megoldási mód (módok) kiválasztása; indoklás.
Az eredmény vonatkoztatása az eredeti problémára. Az eredmény összevetése a feltételekkel, az előre vetített eredménnyel, valósággal.
		Diszkusszió. (A lehetőségek számbavétele. A feltételekkel való összevetés során annak tudatosítása, hogy miben és hogyan befolyásolják a feltételek az eredményt. Ha elhagyjuk, megváltoztatjuk valamelyiket, hogyan módosul a megoldás?)
Válasz megfogalmazása szóban, később írásban is.

5. Alkotás és kreatív képességek: alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás

1-4. évfolyam	5-6. évfolyam	7-8. évfolyam	9-12. évfolyam
Objektumok alkotása szabadon; másolással, adott feltételek szerint.
Állítások, kérdések megfogalmazása képről, helyzetről, történésről szóban, írásban. Saját gondolatok megfogalmazása; elképzelések, definíciók és tételek alkotása, megfogalmazása, kimondása, leírása.
Összességek alkotása adott feltétel szerint; halmazalkotás; definiáló tulajdonság megalkotása; a tulajdonság tagadásának megalkotása a komplementer halmaz elemeinek közös, meghatározó ismérveként.
		Fogalmak alkotása (összességek elemeinek közös, meghatározó, lényeges tulajdonságainak szintetizálása; további példák besorolása, ellenpéldák kiszűrése a meghatározó ismérvek szerint). Fogalmak módosulása újabb tapasztalatok, ismeretek szerint; egy-egy fogalom újabb fogalommá bővítése. Fogalmak alkotása specializálással.
Elnevezések, jelölések, szimbólumok, alkotása (alkalmi elnevezések a képzethez, előfogalomhoz jól illeszkedő köznyelvi szavakkal; alkalmi jelölések).
	Rendszeralkotás: elemek elrendezése különféle szempontok szerint; rendszerezést segítő eszközök (fadiagram, útdiagram, táblázatok) használata, készítése. Megalkotott rendszer átalakítása. A kombinatorikus gondolkodás fejlesztése.
Számrendszerek alkotása, számrendszeres gondolkodás a számfogalom épülésében.
	A számrendszeres gondolkodás tudatosítása az írásbeli műveletek, számrendszerfüggő számtulajdonságok megértéséhez.
Sorozatok alkotása. Megfigyelésben, mérésben, számlálásban, számolásban gyűjtött adatok, elemek sorozatba rendezése; a keletkező sorozat tulajdonságai szabályosságának vizsgálata. (Például periodikus sorozatok, számtani, mértani sorozat.) Megkezdett sorozat folytatása, kiegészítése adott szabály szerint, felismert összefüggés alkalmazásával. Az "összefüggés" megalkotása a sorozat elemei közti kapcsolat általánosításaként; ellenőrzése.
	Táblázatok készítése. Megfigyelésben, mérésben, számlálásban, számolásban, kísérletben gyűjtött adatpárok, adat-hármasok rendezése (pl. táblázatba), kapcsolatok vizsgálata. Táblázat hiányzó adatainak keresése adott szabálynak, összefüggésnek megfelelően, illetve felismert kapcsolat szerint. Az "összefüggés" megalkotása a táblázat elempárjai (elem-hármasai) közti kapcsolat általánosításaként; ellenőrzése.
Modell alkotása helyzet megértéséhez: eljátszás, mímelés, képek, egyszerűsített képek, egyszerűsített mozgatható kirakások, szakaszos ábrák, gráfok készítése probléma, szöveges feladat értelmezéséhez.
Modell alkotása, értelmezése fogalmakhoz. A természetes szám modellként való kezelése (különféle fogalmi tartalmak - darabszám, mérőszám, értékmérő, jel - szerint), tört szám, negatív szám, egész szám, racionális szám modellként való kezelése; számegyenes; az aritmetikai műveletek mint történések és viszonyok matematikai modelljei; egyenletek, egyenlőtlenségek; reláció, függvény, sorozat mint modellek; ábra, diagram mint modell.
	További algebrai modellek. Geometriai modellek.
		Koordinátageometriai modellek (pl. egyenes egyenlete, kör egyenlete, vektorok, vektorműveletek). Valószínűségi modellek. Kombinatorikus modellek. Statisztikai jellemzők.

Modell alkotása probléma megoldásához (eljátszás, mímelés, képek, egyszerűsített képek, egyszerűsített mozgatható kirakások, szakaszos ábrák, gráfok, számfeladatok, nyitott mondatok, sorozatok, táblázatok készítése és értelmezése, olvasása probléma, szöveges feladat megoldásához; probléma és modell "elemeinek" tudatos összerendezése).
Átkódolás különböző modellek között.
Sejtések megfogalmazása; divergens gondolkodás. (Megértett probléma "eredményének" elképzelése, előrevetítése; a sejtés megfogalmazása, lejegyzése, megoldás utáni ellenőrzése. Becslés. Újabb lehetőségek, kérdések, újabb problémák felvetése, feltételek változtatása.)
Gondolatmenet kiépítése (pl. "megoldási terv" szöveges feladathoz). Manuálisan elvégzett tevékenység gondolati lépésként való értelmezése, tudatosítása. Megértett probléma részletproblémákra bontása modell nélkül vagy modell segítségével; a részletproblémák sorrendbe állítása, pl. megoldhatóságuk időrendje szerint; az így képzett terv tudatosítása elmondással, írásban, jelsorozattal (folyamattervezés). A tervkészítés módjának megalkotása. Stratégia alkotása.
Kidolgozás megalkotása. (Az eltervezett megoldás lépéseinek végrehajtása; a részeredmények értelmezése, a végeredmény vonatkoztatása az eredeti problémára, válaszadás diszkusszió nélkül, illetve diszkusszióval.)

6. Akarati, érzelmi, önfejlesztő képességek és együttéléssel kapcsolatos értékek fejlesztése

6.1 Kommunikáció

1-4. évfolyam	5-6. évfolyam	7-8. évfolyam	9-12. évfolyam
Kommunikáció nyelvhasználat előtt: lejátszás, kirakás, megmutatás, mímelés mint gondolatok kifejezése; ezek értése.
Elnevezések, megállapodások, jelölések értése, kezelése: köznyelvi szavak használata és elfogadása előfogalmak jelölésére; egyszerű szakszavak és jelölések alakuló és kialakult fogalmak megnevezésére; a kifejezések pontosítása (pl.: számok és jelöléseik; műveletek jelölése, egyenlőség és egyenlőtlenség jelölése, mérések, mértékegységek).
	A matematika tanulásához szükséges nyelvi-logikai szerkezetek fokozatos megismerése. Negáció (tulajdonság, ítélet, nyitott mondat negációja), logikai "és", "vagy", "legalább", "legfeljebb", "ha..., akkor", "csak akkor..., ha"; egyszerű következtetések; definíció. A köznyelv és a matematikai nyelv különbözőségeinek és értékeinek megértése és elfogadása.
	Mások gondolatainak megértésére törekvés (példák és ellenpéldák keresése, kérése; kérdések megfogalmazása; magyarázat kérése; átfogalmazásra, egyszerű következtetésre tett próbálkozások).
	Saját gondolatok kifejezése, rögzítése (szóbeli elmesélés; matematikai szöveg írása, értelmezése, jegyzet készítése, visszaolvasás; jegyzetfüzet vezetése).
	Saját gondolatok megértetésére való törekvés (szóbeli érvelés: szemléletes indoklás; egyszerű bizonyítás; írásbeli érvelés: bizonyítás írásban, jelek használatával; sejtések megfogalmazása, sejtések megerősítése, elvetni tudása; bizonyítás alapgondolatának kiemelése).

6.2 Együttműködés

1-4. évfolyam	5-6. évfolyam	7-8. évfolyam	9-12. évfolyam
Közös munka (páros, kiscsoportos munka, csoportmunka) vállalása; együttműködés, egymásra figyelés; egyéni felelősség és közös felelősségvállalás.
A munka tervezése, szervezése, megosztása.
Egyéni adottságok, képességek és igények figyelembevétele a közös eredmény érdekében és tiszteletben tartása az egyén fejlődése szolgálatában; tolerancia, egymás segítése. A munkamegosztásban betöltött szerepek értékeinek ismerete és elfogadása.
Vitakészség, kifejezőképesség.
A részeredmények értelmezése, értékelése összerendezése.
Projektben való együttműködés.

6.3 Motiváltság

1-4. évfolyam	5-6. évfolyam	7-8. évfolyam	9-12. évfolyam
A világ megismerésének igénye. (A matematikai ismeretek kezdetben közvetlenül a világ tárgyainak, jelenségeinek megismeréséhez járulnak hozzá. Eszközt és módszert adnak különféle tulajdonságok megfigyeléséhez, kiemeléséhez, tárgyak, jelenségek jellemzéséhez. A szűkebb és egyre bővülő környezet iránti kíváncsiság lehet a tanulás egyik hajtóereje.)
A matematika értékeinek és eredményeinek megismerésére való igény. (A hasznosság, más tudományok, gyakorlati élet területén, a gondolatok, gondolatmenetek, minták, struktúrák stb. érdekessége, szépsége tegye vonzóvá kinek-kinek a számára a tárgy tanulását.)
A matematikai módszerek és eszközök megismerésének igénye. (A matematika módszerei és eszközei a gondolkodás számos területére pozitív transzferhatást gyakorolhatnak.)
A saját képességek és műveltség fejlesztésének igénye. (Az "én is tudom", "én is meg tudtam oldani", "én találtam ki" élménye a fejlődés egyik leghatékonyabb hajtóereje. Az önállósodás, függetlenedés igénye, a saját értékek érvényesítésének igénye - helyes pedagógusmagatartás esetén - háttérbe szorítja, sőt egy idő után szükségtelenné is teheti a "külső motivációt.)

6.4 Önismeret, önértékelés, reflektálás, önszabályozás

1-4. évfolyam	5-6. évfolyam	7-8. évfolyam	9-12. évfolyam
Önismeret. Saját értékek (pontosság, tervszerűség, monotóniatűrés, kitartás a munkában, kudarctűrés, megnyilatkozni tudás, önfegyelem, egyéni felelősség, kíváncsiság stb.), saját korlátok ismerete, tudatosítása; technikák megismerése ezek kompenzálására. Saját részképességek, gondolkodási tevékenységek felismerése, tudatosítása. Reflektálás.
Önértékelés
Önellenőrzés Az érzelmi reakciók, és kontrollálásuk. Önmotiválás. Önszabályozás.

7. A matematika épülésének elveiben való tájékozottság

1-4. évfolyam	5-6. évfolyam	7-8. évfolyam	9-12. évfolyam
			Modellek alkotása a matematikán belül; matematikán kívüli problémák modellezése.
			Az egyértelműség igénye, például szemléletes fogalmak használata, definíciók bevezetésének szükségessége, definiált fogalmak megismerése, definíciók alkotása.
			A minden esetre való alkalmazhatóság, különös esetekre való kiterjesztések, permanenciaelv (az algebrai nyelv jelentősége; a hatványozás, a szögfüggvények fogalmának kiterjesztése).
			Axiomatizálás egyszerű példán való bemutatása.