Matematika
Alapelvek
Az iskolai matematikatanítás célja, hogy a megfelelő nevelő, orientáló és irányító funkciók ellátásával lehetőleg hiteles – ezért egységes, összefüggő – képet nyújtson a matematikáról, nemcsak mint kész, merev ismeretrendszerről, hanem mint sajátos emberi megismerési tevékenységről, szellemi magatartásról, amely érzelmi és motivációs vonatkozásokban is formálja és gazdagítja az egész személyiséget, a gondolkodást, és alkalmazásra érett ismereteket is nyújt. A matematikatanítás eszközeivel, a matematikai gondolkodás területeinek fejlesztésével emeli a gondolkodás általános kultúráját.
Szerepe a matematika különböző arculatainak bemutatása és érvényre juttatása. A matematika ebben a felfogásban egyszerre kulturális örökség, gondolkodásmód, tevékenység, a gondolkodás örömének forrása, a mintákban, struktúrákban tapasztalható rend és esztétikum megjelenítője, tudomány, egyéb tudományok segítője, iskolai tantárgyak segítője, valamint a mindennapi élet és a szakmák eszköze.

A fejlesztés kiemelt területei:
•	a személyiség tiszteletére nevelés, mások gondolatmenetének meghallgatása, megértése; 
•	a jelenségekhez illeszkedő modellek, gondolkodásmódok (analógiás, heurisztikus, becslésen alapuló, matematikai logikai, axiomatikus, valószínűségi, konstruktív, kreatív stb.), módszerek (aritmetikai, algebrai, geometriai, koordináta geometriai, statisztikai stb.) és leírások kiválasztani tudása;
•	a jelenségek értelmezéséhez illeszkedő érvek keresése, 
•	az érveken alapuló vitakészség fejlesztése, 
•	a modellek érvényességi körének és a gyakorlatban való alkalmazhatóságának eldöntésére alkalmas kompetenciák és képességek kialakítása; 
•	a kommunikációs kultúra; annak értése, hogy a matematika a természettudományokban, a társadalomtudományokban, a humán kultúra számos ágában fontos szerepet tölt be; 
•	hozzájárulás a történeti szemléletmód kialakításához;
•	a tanulás képességének alakítása;
•	a reproduktív, a problémamegoldó, az alkotó gondolkodásmód fejlesztése;
•	a pontos, kitartó, fegyelmezett munka végzése, az önellenőrzés igénye, módszereik megismerése és alkalmazása.
A műveltségi terület a matematika különböző témaköreinek szerves összeépülésével kívánja a matematika és a matematikai gondolkodás világát feltárni. A matematikai fogalmak, összefüggések érlelése és a gondolkodásmód kialakítása az egyre emelkedő szintű spirális felépítést indokolja az életkori, egyéni fejlődési és érdeklődési sajátosságoknak, a bonyolódó ismereteknek, a fejlődő absztrakciós képességnek megfelelően.
Az alábbiakban azokat a területeket soroljuk fel, amelyek fejlesztését a matematika tanítása során tudatosan terveznünk kell. Ez a fejlesztés nem „mennyiségi”, hanem a tanulók tempójának megfelelő minőségi fejlesztés kell, hogy legyen. Természetesen nem lehet valamennyi fejlesztési cél mindig egyaránt hangsúlyos. Egy-egy tevékenység során a tanár a helyzetnek megfelelően állapítja meg azokat, amelyeket kiemelten szem előtt kíván tartani.
A következő táblázat két széles oszlopa mellett megjelenő négy keskeny oszlopban a cella beszínezésével jeleztük, hogy az adott fejlesztési tartalom melyik képzési szakaszon jelenik meg jellemzően.
Az oszlopok sorrendben:
1–4. évfolyam, 5–6. évfolyam; 7–8. évfolyam, 9–12. évfolyam.
Ha egy fejlesztés például csak az 1–4. évfolyam feladata, akkor csak az első oszlop színezett. Ha a fejlesztés a következő évfolyamokon is folytatódik, akkor egymás mellett két, három vagy négy cellát is beszíneztünk szükség szerint.

Fejlesztési feladatok
1. Tájékozódás
1.1 Tájékozódás térben
Fejlesztési területek, célok	Példák 	4	6	8	12	
Tájékozódás nagytesti mozgással; mozgássor megismétlése, mozgási memória fejlesztése; mozgássor megismétlése visszafelé.	Tájékozódás az osztályban, iskolában, iskola környékén.					
Tájékozódás a külső világ tárgyai szerint; tudatosított tájékozódási pontok szerint; tájékozódás a síkban, a síkban ábrázolt térben; tájékozódás szavakban megfogalmazott információk szerint.	A tájékozódást segítő viszonyok: mellett, alatt fölött, között, előtt, mögött...
Tájékozódás a füzetben, könyvben.					
Tájékozódás a saját testhez képest.	Testi dominanciához a megfelelő (bal, jobb) szavak megjegyzése, dominancia hiányában a saját testi jelhez kötött elnevezés megtanulása.					
Tájékozódás a másik ember nézőpontja szerint.	...ha az én helyemen állnál...					
Tájékozódás különféle koordináták szerint; hosszúság, távolság, irány, szög. A dimenzió megértése.
Térbeliség ábrázolása két dimenzióban.	Óda utca 2. (ez matematikai tartalma szerint a keresett ház két koordinátája); tőled jobbra 5 lépéssel... (iránnyal és távolsággal meghatározott hely).
Számegyenes, derékszögű koordinátarendszer; koordinátamódszer; vektorok térben és síkban.
Kótás alaprajz használata, takarás jelölése, célszerű síkmetszetek...					
Tájékozódás térképvázlatok szerint; térképolvasás, térképek készítése; arányérzék fejlesztése; a valóságos viszonyok becslése térkép alapján. 	Térképkészítési elvek megértése; tájékozódást segítő eszközök (pl. iránytű) használata.
Térbeli mérési adatok felhasználása számításokban.					

1.2 Tájékozódás időben
A múlt, jelen, jövő megértése adott időpillanatban.	Előbb, ezután.					
A múlt, jelen, jövő, mint folytonosan változó fogalmak megértése.	Az előtte, utána (korábban, később) viszonyok értése, használata; folyamat mozzanatainak időbeli elrendezése; szöveges feladatok, amelyekben az időrendnek szerepe van.					
A ciklusonként átélt idő lineáris időfogalomként való kezelni tudása; időtartam, időpont.
Az időtartam mérése; időérzék fejlesztése. 	Nappal-éjszaka, a hét napjai; évszakok, hónapok. Időszalag, naptár olvasása, készítése.
Különböző időmérések és az időmérés különböző elvi alapjainak megértése; a különböző kultúrák időmérése.					
Időzónák (tér és idő).						
Periodikus jelenségek.						

1.3 Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban
Tárgyak, személyek, alakzatok, jelenségek, összességek összehasonlítása mennyiségi tulajdonságaik szerint; megszámlálás és kiszámlálás, meg- és kimérés; becslés.	Magasabb, alacsonyabb, ugyanolyan magas; hosszabb, rövidebb, ugyanolyan hosszú; szélesebb..., nehezebb..., távolabbi..., több fér bele..., tovább tart...; több, kevesebb, ugyanannyi; – különféle geometriai és egyéb mennyiségek fogalmának alakítása (hosszúság, terület, térfogat...).					
A mennyiségi jellemzők kifejezése számokkal; a számok értelmezése a valóság mennyiségeivel.	Mérőszám és darabszám (halmaz számossága); természetes szám, racionális szám, valós szám; pontos szám és közelítő szám.					

2. Megismerés
2.1 Tapasztalatszerzés; a tapasztalatok tudatosítása, közlése, rögzítése, jelölése, ezek értelmezése, visszaolvasása
Fejlesztési területek, célok	Példák					
Finommotoros mozgáskoordinációk.	Az apró tárgyak, korongok, pálcikák, rudak rakosgatása, ceruza, füzet, négyzethálós lap, vonalzó, körző használata.					
Statikus helyzetek, képek, tárgyak megfigyelése
•	különféle érzékszervek együttműködése révén; Az észlelés pontosságának fokozása.
•	„elemeinek”, tárgyak, tárgyhalmazok tulajdonságainak kiemelése; összehasonlítás, azonosítás, megkülönböztetés; osztályokba sorolás, sorba rendezés különféle tulajdonságok szerint a különféle érzékszervek tudatos működtetésével; a figyelem terjedelmének és tartósságának növelése, tudatos, célirányos figyelem; elemek, tulajdonságok megnevezése; az érzékelés pontosságának fejlesztése, a tudatosodás segítése.	Másolások, alkotások emlékezetből való rekonstruálása; tájékozódás mozgássor tagolatlan másolásával; látott, hallott helyzet, kép összképben való felismerése, azonosítása, megkülönböztetése, rekonstruálása.
Képolvasások; tárgyak szétválogatása, sorba rendezése; tárgyak és tárgyhalmazok összehasonlítása, jellemzése tulajdonságaikkal: hosszabb, rövidebb, több, kevesebb   ; számfogalom előkészítése; az összehasonlítás jelölése.
Geometriai tulajdonságok megismerése; mérés, konstruálás; „minőségi” és mennyiségi tulajdonságok kifejezése szétválogatásokkal, sorba rendezésekkel.
Közös tulajdonság felismerése; tulajdonság tagadása mint szintén közös jellemző (nem piros, nem páros, nem nagyobb, mint 10…).					
Szétválogatás két szempont szerint; megosztott figyelem; két, több szempont egyidejű követése.	Síkidomok szétválogatása több szempont szerint; például van derékszöge és négyszög.
Halmazok eszköz jellegű használata.					
Pontos megfigyelés statikus szituációkról, lényegkiemelés.	Helyzetről, képről kirakás, rajz, egyszerűsített kirakás, egyszerűsített rajz készítése lényeges elemek megőrzésével (pl. szín, darabszám...) lényegtelenek figyelmen kívül hagyásával (részletek, forma, méret.... 
Számjelek bevezetése.
Kétváltozós műveletek értelmezésének tapasztalati előkészítése (pl. összeadás halmazok egyesítésével; kivonás értelmezése összességek, mennyiségek különbségeként: mennyivel több, mennyivel nehezebb...).
Műveleti jelek; számok összetett alakjainak használata (pl. 2+3; 10:2…).					
	Modellezés; fogalmak, összefüggések megjelenítése					
	Oszthatósági szabályok felismerése.					
Változó helyzetek megfigyelése, a változás lejátszása saját testi mozgással, manipulatív úton; visszafordítása saját testi mozgással, manipulatív úton; a nagytesti mozgás és a finommotoros mozgáskoordináció fejlesztése.	Tárgyi eszközök kezelése helyzetek megjelenítésére, ábrázolására, műveletek tárgyi megjelenítésére.
Kísérletek (pl. valószínűségi kísérletek) végzése, a történés többszöri megfigyelése.
Geometriai alkotások létrehozása szabadon és másolással; transzformációk elvégzése, a „kép” eredetijének megalkotása.					
Változó helyzetek, időben lejátszódó történések megfigyelése, szavakban való megismétlése; a változás kiemelése; az időbeliség tudatosítása.	Változást leíró művelet-értelmezések tapasztalati alapozása, két képben való ábrázolása; egyváltozós műveletértelmezések; a változás jelölésére a nyíl-jelölés bevezetése, a változást kifejező műveletek használata.
Adatok jegyzése, rendezése, ábrázolása.
Együttváltozó mennyiségek összetartozó adat-párjainak, adat-hármasainak jegyzése: függvények, sorozatok alkotása, értelmezése; matematikai modell keresése változások leírására.
Geometriai transzformációkban megfigyelt megmaradó és változó tulajdonságok tudatosítása.					
Szavakban megfogalmazott helyzet, történés
•	megfigyelése; a figyelem irányítása; tartósságának növelése;	Szöveges feladatok értelmezése kirakással, rajzzal (egy, illetve két képben).					
•	értelmezése: lényeges és lényegtelen információk szétválasztása;	Értelmezés a kérdés szempontjából lényegtelen adatok elhagyásával, a lényeges adatok kiválasztásával, rögzítésével, jelölésével.					
•	szavakban megfogalmazott helyzetről, történésről matematikai „szöveg” írása; matematizálás.	Matematikai modellek választása, keresése, készítése, értelmezése adott szituációkhoz. (Egyszerűsített rajz, számfeladat, nyitott mondat, sorozat, táblázat egyenlet-megoldási módszerek, gráfok…)					
Rajz, kirakás és adatok értelmezése: a lejátszott történés visszaidézése; az elmondott történés visszaidézése.	Statisztikai diagramok értelmezése.					
Rajzolt, illetve tárgyi jelek értelmezése tevékenységgel, történés kitalálásával.	Matematikai jelek – például számjelek, műveleti jelek, , , =, , , , , ...  értése.					
Szavakban megfogalmazott helyzetről, történésről készült matematikai „szöveg” értelmezése.	Konkrét matematikai modellek (pl. nyitott mondat, szakaszos ábra…) értelmezése a modellnek megfelelő szöveges feladat kitalálásával.					
Tudatos megfigyelés elvont szituációkban; azonosítás, megkülönböztetés 
•	adott tulajdonságok szerint; a célirányos, akaratlagos figyelem fejlesztése; szemponttartás;	Tárgyak, jelenségek, jelenségek közti kapcsolatok, elvont fogalmak, elvont jelenségek azonosságainak, különbözőségeinek kiemelése. (Táblázat kitöltése, sorozat folytatása adott szabálynak megfelelően.) Például szabályos sokszögek átlóinak száma, belső szögeinek összege.					
•	felismert tulajdonságok és kapcsolatok szerint;	Szabály intuitív követése a szabályosság felismerésének kifejezése például folytatással, a nem odaillő elhagyásával; a szabály tudatosítása példák sorolásával. Általánosítás, általános megfogalmazás. Pl. oszthatósági szabályok.					
•	változó szempontok, feltételek szerint; szempontok önálló megválasztása.	Például építmények megkülönböztetése egy valóságos építkezés szerint, de azonosításuk egybevágóság alapján; alkotóelemek száma alapján…
Számhalmaz létrehozása különböző szempontok szerint: pozitív, negatív, egész, maradékosztályok.					
Esetfelsorolások, diszkusszió a szempontok, feltételek önálló megválasztásával és változtatásával.	Olyan kétjegyű szám alkotása, amelyben a számjegyek összege 7; az összes ilyen tulajdonságú kétjegyű szám felsorolása; annak vizsgálata, hogy miképpen változik a lehetőségek száma, ha az összeg 6, 5, 4…, 8, 9; vagy hogyan változik akkor, ha kétjegyű számokon kívül 1, 3, 4, 5, 6 és 7 jegyű számokat is alkotunk (amelyekben a 0 nem szerepel).
Négyszögek osztályozása különböző szempontok szerint.
Két kör közös pontjainak száma a középpontok távolságától és a sugarak hosszától függően.					

2.2 Emlékezés
Motoros emlékezés, auditív emlékezés.	Mozgásra, mozgássorra való emlékezés; tájékozódás mozgások felidézésével.
Formára való emlékezés a tapintás, (nagymozgással és finomabb mozgásokkal – például rajzzal – való végigjárás) alapján.
Számmemória fejlesztése mozgásokhoz kapcsolva (pl. érintések darabszámának, hangjelzések darabszámának felidézése).
Összefüggésekre való emlékezés végrehajtott cselekvéssor alapján (pl. hozzátevés és visszavétel; nyújtás és zsugorítás...); alapszerkesztések.
Mozgással létrehozott, vagy mozgással is összeköthető ritmus, minták és szerkezetek felidézése; sorozatok.
Auditiv emlékezés például ritmussal kapcsolatban, víz hangjából következtetés a pohárba töltött víz mennyiségére.					
Képi emlékezés statikus helyzetekben.	Kép, helyzet felidézése összképben.
Részletek felidézése; a szabvány mértékegységek nagysága.
Összesség felidézése (darabszám, elemek, elrendezés, sorrend).
Minták és szerkezetek felidézése statikus képen.
Jelek helyzetének, alakjának felidézése; függvények grafikus képe.					
Történésre való emlékezés.	Lejátszott és lejátszódott események felidézése; emlékezés a részletekre, időrendre; kombinatorikus összeszámlálások.
Kísérlet, megfigyelés eseményeinek felidézése; az emlékezést segítő jegyzetek, rajzok, jelek készítése, használata, visszaolvasása; a feljegyzés-használat szokásainak kialakítása.					
Szóbeli és írásbeli információkra és kérdésekre való emlékezés.	Például a házi feladat megjegyzése; információk felidézése.
Adatok, feltételek megjegyzése a feladatmegoldás idejére.
Elnevezések és egyéb megállapodások megjegyzése akár örökre (pl. műveletek neve, a bennük szereplő számok neve, síkbeli és térbeli alakzatok és tulajdonságaik neve.
Jelek, jelölések megjegyzése, felidézése (pl. nyíljelölés, számjelek, műveleti jelek, relációk jelének megjegyzése, felidézése).
Definíciókra való emlékezés.					
Elmondott, elolvasott történetre, problémákra való emlékezés.	Szöveges feladat lényegileg pontos felidézése; emlékezést segítő ábrák, vázlatok, rajzok készítése, visszaolvasása.
Adatokra és összefüggéseikre való együttes emlékezés.					
Ismeretek tudatos memorizálása, felidézése; a megtanulást segítő eszközök megismerése.
•	Tényismeretek memorizálása, mozgósítása.	A kéttagú összegek és a megfelelő különbségek a 20-as számkörben; a szorzótábla eseteinek megtanulása; megismert testek, síkidomok tulajdonságai, nevezetes azonosságok.
Ismeretek mozgósítása
•	kérdésre (pl. definíciók és tételek pontos kimondása),
•	alkotás létrehozásához,
•	új ismeret szerzésében,
•	az új ismeret beillesztéséhez,
•	problémamegoldáshoz.
Ismeretek megtanulásához összefüggések felhasználása, jegyzetek készítése, visszaolvasása; tudatos gyakorlás.					
•	Eljárásokra, módszerekre való emlékezés.	Tanult algoritmusok felidézése, használata (pl. „tízes-átlépéses” módszer; írásbeli műveletek végzése; analógiák alapján való műveletvégzések; mérési módszerek; transzformáció végrehajtása a sík mozgatásával; azonos átalakítások; elsőfokú és másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása, műveletek egyszerű algebrai törtkifejezésekkel).					
•	Megértett állításokra, szabályokra, összefüggésekre emlékezés.	Viselkedési, mozgásos játékra vonatkozó szabályok felidézése.
Tények közti kapcsolatok, viszonyok, összefüggések felidézése (pl. minden páros szám után páratlan, páratlan után páros következik; egyenlőkből egyenlőt elvéve egyenlő marad…).
Állítások, tételek jelentésére való emlékezés.
Elvontabb összefüggések megjegyzése (ha egy természetes szám egyesei helyén páros szám áll, akkor a szám páros; a rombusz átlói merőlegesen felezik egymást; Pitagorasz tétele…).					
•	Érvelésre, cáfolásra, következtetésre emlékezés; gondolatmenetre emlékezés.	Például vitákban felhasznált gondolati lépések megjegyzése, felidézése, új helyzetekben való alkalmazása.					
	Bizonyítási módszerek (tételek szétválasztása, átfogalmazása, skatulyaelv stb.).					

2.3 Képzelet (követő, alkotó)
Elmondott, olvasott történés, helyzet követése képzeletben.	Szavakban közvetített információk, történések, szituációk elképzelése; megjelenítése lejátszással, kirakással, képpel.					
Lejátszódott esemény újra átélése a képzeletben.
Esemény folytatásának elképzelése, a képzelt folytatás lejátszása.	Esemény újrajátszása képzeletben a képalkotáshoz.
Alkotások elkészítése után a megalkotás megismétlése a képzeletben (pl. kombinatorikus alkotások áttekintéséhez).					
Tárgyhű és elvontabb képek és jelek alapján történés, szituáció elképzelése.						
Számok, műveletek, egyéb matematikai szimbólumok alapján az általuk leírt valóságos helyzetek, történések, összefüggések elképzelése.	Képek, képpárok, szakaszos ábrák, diagramok, grafikonok, táblázatok, műveletek, nyitott mondatok... alapján e modellekhez tartozó helyzetek, történések elképzelése, „kitalálása”, elmesélése.
A szabványos mértékegységekhez tartozó mennyiségek és többszöröseik, törtrészeik képzeletben való felidézése.					
Adott tárgy, elrendezés, kép elképzelése más nézőpontból.	„Rakd ki a tárgyakat úgy, ahogy én láthatom!” Testek építése különböző nézeteikből, vetületeikből.					
Feltételeknek megfelelő alkotások elképzelése a megalkotások előtt; a tényleges alkotás összevetése az elképzelttel.	Az elképzelés alapján vázlatos ábrák alkotása, alakzatok készítése síkban és térben. Szerkesztések síkban és térben különféle szerkesztési eszközökkel és előírásokkal.					
Képzeletben történő mozgatás.	Átdarabolás elképzelése.
Testháló összehajtásának elképzelése, szétvágások elképzelése.
Testek különféle síkmetszetének elképzelése…					
Probléma megoldásának elképzelése; megoldás után a képzelt és tényleges megoldás összevetése.	Szöveges feladat eredményének előre vetítése; becslés, sejtés megfogalmazása. Legrövidebb utak keresése, állandó kerületű, állandó területű téglalapok területének, kerületének vizsgálata. Állandó kerületű téglalapok közül a legnagyobb területű kiválasztása. Legvalószínűbb esetek tippelése, lejátszása.					

2.4 Gondolkodás
Összehasonlítás, azonosítás, megkülönböztetés.	Tárgyak, személyek, tárgycsoportok, tárgysorozatok, jelenségek, tények, fogalmak (pl. számok, alakzatok...) összehasonlítása: kiválogatás, összeválogatás; különbözőségek, azonosságok tudatosítása, megállapítása, jelölése.					
Osztályozás egy és egyszerre két (több) szempont szerint.	Tárgyak osztályozása (szétválogatása) saját szempont szerint, adott illetve elkezdett válogatásban felismert szempont szerint; számok, alakzatok osztályozása, a dolgokat jellemző tulajdonságok tudatosítása céljából, és az objektumok alaposabb megismerése céljából.					
Sorba rendezés.	Két elem adott sorrendjéhez a harmadik elem beillesztése az előbbivel azonos szempont szerint. Sorozatok létrehozása (folytatása, kiegészítése) valamely szubjektív vagy objektív tulajdonság tudatosítására és a sorba rendezett elemek jellemzésére.					
Megítélés, döntés
•	Célszerűség szerint	
Feladatok megítélése aszerint, hogy van-e benne felesleges vagy ellentmondó adat; elegendő-e az információ.					
	Megállapodás célszerű volta: célszerű-e egy megállapodás, jelölés, pl. a0=1.
Tanult ismeret eljárás, megoldási mód megítélése célszerűsége szerint.					
•	Értékek szerint	Egy feladat, egy megoldás, egy bizonyítás egyértelműsége, érthetősége, egyszerűsége, szépsége, gyakorlati felhasználhatósága, egyéb értékei.
Információ, szempont megítélése aszerint, hogy fontos-e az adott szituációban, adott kérdés eldöntéséhez, adott probléma megoldásához.					
•	Jelentéstartalom szerint	Megállapítás megítélése aszerint, hogy van-e értelme; aszerint, hogy egyértelmű-e; fontossága szerint; aszerint, hogy összhangban van-e a tapasztalattal, egy másik kijelentéssel.
Két állítás megítélése aszerint, hogy jelentésük milyen viszonyban van egymással (függetlenek; ugyanazt jelentik; egymást kizárják, de nem tagadásai egymásnak; egymás tagadásai).
Egy megoldás megítélése aszerint, hogy összhangban van-e a feltételekkel, valósággal, gyakorlati igényekkel.					
•	Állítások megítélése igazságértékük szerint	Nyitott mondatok lezárása behelyettesítéssel és kvantorokkal; megoldásuk.					
•	Következtetés megítélése helyessége szerint	Például a mérlegelvvel való egyenletmegoldásban következik-e egy egyenlet az előzőből.					
Megértés						
•	Ismert tartalmú utasítás megértése; új helyzetben adott utasítás megértése.
•	Kérdés tartalmának megértése adott tárgyi szituációban és megfogalmazott problémában.	Közlés tartalmának felfogása megmutatás, példa segítségével és anélkül.
Szituáció, változás, szöveges feladat, egyéb probléma értelmezése lejátszással, kirakással, tárgyhű, illetve egyszerűsített rajzzal, átfogalmazással. Adatok felfogása, lényegtelenek elhagyása, lényegesek kiemelése, rögzítése, kapcsolatuk feltárása, szerepük értése.
Adatokra és összefüggéseikre vonatkozó jelölések használata, értése.
Folyamat fordított lejátszása. Az időbeliség megértése.					
•	Fogalmak egymáshoz való viszonyának megértése, összefüggés megértése.	Alá- és fölérendeltségi viszony; mellérendeltség megértése.
Rendszer felfogása; a rendszerezés módszere.
Adatpárok keresése adott összefüggéshez; összefüggés megállapítása összetartozó adatpárok közös tulajdonságaként.					
•	Matematikai modellek megértése.	Például számok, műveletek, nyitott mondatok, sorozatok, függvények, táblázatok, rajzos modellek, diagramok, gráfok, grafikonok, készítése, leolvasása, értelmezése; átkódolás más modellbe.					
•	Gondolatmenet követése; egyszerű gondolatmenet megfordítása.	Oksági kapcsolatok megértése.					
Következtetés további igazságokra	Példák, ellenpéldák keresése, alkotása.
Egylépéses intuitív következtetés további állítások igazságára (amely még nem társul tudatos nyelvi megfogalmazással).
Egyszerű bizonyítások.					
•	Állítás tagadása.						
•	Állítás megfordítása.						
Absztrahálás, konkretizálás (fogalmak megalkotása, besorolás adott fogalom alá).
•	Egyedi tapasztalatok, modellek; általános tapasztalatok, univerzális modellek értelmezése.
•	Generalizáló absztrakció. Analógiás gondolkodás és korlátai	Tárgyak, esetek, egyedi eljárások, egyéb konkrétumok közös tulajdonságainak felismerése; ezeknek a tulajdonsággal nem rendelkező konkrétumoktól való megkülönböztetése. Az azonosított elemek közös tulajdonságaiból a lényegesek kiemelése, összegyűjtése, belőlük idealizált belső kép (képzet) építése; lefordítás univerzális modellbe (pl. ujjszámolás; számrendszerek; különféle számalakok, különféle alakú, de azonos értelmű kifejezések, állítások; műveleti tulajdonságok; számolás műveleti tulajdonságok és kapcsolatok alapján, analógiák segítségével... ).
Újabb elemek besorolása a megalkotott belső kép alá: ráismerés. A megértett fogalmi jegyeknek megfelelő további konkrétumok keresése, alkotása. (Megnevezett számból természetes szám, egységtört fogalom. Természetes szám, egész szám, racionális szám, valós szám; egyenlet, egyenlőtlenség...)					
•	Idealizáló absztrakció	Kör, háromszög, négyszög...
Pont egyenes, sík, tér...					
Általánosítás, specializálás, példák, ellenpéldák keresése, alkotása.	Tapasztalatok kiterjesztése és ellenőrzése további esetekre; az általános megsejtése. (Például vizsgált számok, alakzatok valamilyen tulajdonságának felismerése, további számokon, alakzatokon való ellenőrzése; adatok közt talált összefüggés ellenőrzése további adatokra...) Általánosítás. Az általános állítás igazságának erősítése további példákkal, bemutatása képpel, generikus példák segítségével, például a hatványozás azonosságai. Az általános állítás igazolása következtetéssel; bizonyítás; a tévedés megmutatása ellenpéldával, cáfolás.					
A gondolkodás és a nyelv összefonódása, kölcsönhatása						
•	A szó mint egy-egy komplexumhoz, előfogalomhoz, fogalomhoz tartozó példák osztályának jelölője.	Köznyelvi kifejezések és szakkifejezések (Például elsődleges fogalmak: „piros”, „négyszög”, „öt”, „pont”, „szögtartomány”, „szöglet”...; magasabb rendű fogalmak: „szín”, „sokszög”, „szám”, „magasság”, „terület”, „egyenlő”, „egyenlet”, „szög szinusza”...)					
•	Jelek szerepe, alkotása, használata.	Egy piros folt mint jel, egy áthúzott piros színfolt a „nem piros” jelölésére, a számjelek, az =, , , ,, , , , , ,   stb. jelek szükségességének megteremtése, a jelek bevezetése, használata.					
•	Mondatok szerkezetének panelként való használata, felfogása.
•	Értő-elemző olvasás fejlesztése.	Saját gondolatok közlése egyszerű állítások formájában.
Ilyen közlések értése.
Írásban kapott utasítás végrehajtása, helyzetleírás rekonstruálása. (Például: Tedd a labdát a kocka tetejére! Melyik több? – tedd ki a jelet a számok közé! Vegyél föl a derékszögű háromszög átfogóján egy pontot! Rajzold meg a háromszög középvonalai által meghatározott háromszöget!...)					
•	A matematikai logika nyelvének fokozatos megismerése, tudatosítása.	A köznyelvi kötőszavak és a matematikai logikában használt kifejezések jelentéstartalmának összevetése; a matematikai logika nyelvi sajátosságainak elfogadtatása; „és”, „vagy”, „ha ... akkor”, „minden”, „mindegyik”, „van olyan”.					
•	Gondolatmenet 
Tevékenységbe öltöztetés.
Elképzelt tevékenység gondolatban és szavakban való végigjárása.
Elmondott gondolatmenet követése.	Barkochba lejátszása rakosgatással, majd szavakkal is; alkotás végrehajtása és ennek időrendben való elmondása; manuális problémamegoldás megismétlése szavakban...
Például alkotás, problémamegoldás tervének elmondása.
Például kirakással, megalkotással, eljátszással, képzeletben. Pl.: négyzet hajtogatása téglalap alakú lapból; már sokszor végrehajtott szerkesztés menetének leírása.
Például egy szerkesztés leírt lépéseiről a folyamat felidézése, összevetés saját emlékkel, feljegyzéssel, a feljegyzések tartalmának összevetése; a leírás vizsgálata abból a szempontból, hogy ténylegesen megfelel-e az átélt folyamatnak; téglalap területének számítása az egységekkel való kirakás rendjének, az összeszámlálás módjának felidézésével.					
Átélt folyamat gondolatmenetének leírása közösen szavakkal, később jelekkel.
Átélt folyamatról készült leírás gondolatmenetének értelmezése.

Megismert gondolatmenet panelként való felhasználása új folyamatban.
Gondolatmenet tagolása.	Régebben (esetleg nem is pontosan azonos módon) átélt folyamatról szóló leírás értelmezése, elképzelése, szavakba foglalása; a gondolatmenet megőrzése.
Írásban közölt gondolatmenet értelmezése (példákkal, ellenpéldák keresésével, elképzelése).
Például alkotásban, problémamegoldásban.
Algoritmus követése, értelmezése, készítése. Például számítás menetének lépésekre bontása, megoldási terv készítése, szerkesztés menetének önálló megfogalmazása, leírása.					
•	Következtetések.
Egylépéses következtetések.	Nem igaz, hogy „Ez a lap piros.” – „Ez a lap nem piros”.
Egyenlet- és egyenlőtlenség-megoldás következtetésekkel.					
Egy- és többlépéses bizonyítás.
A sejtés és a bizonyított állítás tudatos megkülönböztetése.
Deduktív gondolkodás tudatos megalapozása.	Tétel igazságának eldöntése; tétel megfordítása; ekvivalencia.
Ekvivalens átalakítások nyitott mondatok között.
Egyszerű alapfogalmak és axiómarendszerek; néhány következmény. A permanencia elvének alkalmazása.					

2.5 Ismeretek rendszerezése
Fogalmak egymáshoz való viszonya.

Rendszerezést segítő eszközök és algoritmusok megismerése.	Alá- és fölérendeltségi viszony; mellérendeltség; például az egész szám fogalmának alárendelt fogalma a természetes szám fogalma, ez utóbbi és a negatív egész szám fogalma mellérendelt fogalmak; a nevezetes négyszögek egymáshoz való viszonya.
Fadiagram, táblázat, számítógépes programok.					
A gondolat mint definíció, a gondolat mint tétel.	A paralelogramma ekvivalens definíciói.					
A matematika különböző területei közötti kapcsolatok tudatosítása.	Halmazműveletek és a nyelv logikai elemei közti kapcsolat.
Nyitott mondat megoldása és a függvények kapcsolata.
Egyenletmegoldási módszerek különféle témakörökben.					

2.6 Ismerethordozók
A tanulás manipulatív eszközei.	Színesrúdkészlet, mérőszalag, számtáblázatok, modellező készletek.					
Könyvek, számítógépek.	Matematikai zsebkönyvek, szakkönyvek, ismeretterjesztő könyvek, lexikonok, képletgyűjtemények.					
Tanári segítség, társak segítsége.	Az ismeretszerzés szervezése, jó munkalégkör biztosítása, érdekes problémák szerepeltetése, kérdések felvetése...					
Oktatási-tanulási technológiákkal való megismerkedés, azok értelmes, interaktív használata.	Internet, CD...					
Nyitottság és önbizalom az újjal való ismerkedéshez.						

3. Ismeretek alkalmazása
Fejlesztési területek, célok	Példák					
Friss vagy felfrissített ismeretek közvetlen alkalmazása.
Régebbi ismeretek mozgósítása, felhasználása az ismeretszerzés szituációjához hasonló helyzetben való felhasználása.	Alkalmazás egyszerű utasítás végrehajtásában. (Számítsd ki a kerületét! Kösd össze a hasonlókat! Válogasd ki a ... tulajdonságú számokat!...)
Alkalmazás döntéshez. (Például melyik több? Melyik állítás igaz?...)
Pl. egyenletrendszerek megoldása megismert módszerrel.					
Régebbi ismeretek mozgósítása, összeillesztése, felhasználása új helyzetben; sejtés, ellenőrzés.	Korábban megismert tényekre, helyzetekre, összefüggésekre való ráismerés újabb, a korábbihoz hasonló helyzetekben (például szétválogatás elvégzése újabb síkidomok között olyan szempont szerint, amely szerint már válogattak; régebbi szabály-játékban már feltárt adott számmal való növelés felismerése új számokat tartalmazó táblázatban...).
Annak kipróbálása, hogy az új helyzetben is érvényes-e az előhívott ismeret. (Például a kivonás értelmezése elvételként az egész számok körében is; a jó becsléshez szorzásnál is alkalmazható-e a százasokra kerekített értékekkel számolni...)					
Alkalmazás az újabb ismeretek megszerzésében; új tapasztalatok visszarendezése előfogalmakhoz, fogalmakhoz.	Megismert eljárás, például szétválogatás végzése új, eddig ismeretlen szempont szerint, az együvé gyűjtött elemek közös tulajdonságainak felismerése.
Az írásbeli összeadás eljárásának alkalmazása „pótlásos” esetre; műveleti tulajdonságok a számok és az algebrai kifejezések körében.					
Alkalmazás problémamegoldásban.	Problémahelyzetben az ismert elemek kiválogatása, tudatosítása; elválasztásuk az ismeretlen, keresett elemektől. Az ismeretelemek pontos feltárása (tények és összefüggéseik elemzése), rendezése, rögzítése. Az ismert és ismeretlen elemek közti lehetséges kapcsolatok feltárása; a problémamegoldás szempontjából megfelelő kiválasztása, például műveletek értelmezése racionális számok körében.					
Alkalmazás érvelésben, bizonyításban, cáfolásban.	Hivatkozás ismeretekre sejtések, indoklások megfogalmazásában. (Például a 4100–2000 nagyobb a 4100–2200-nál, mert ha kevesebbet veszek el valamiből, akkor több marad.) 
Ismeretek alapján egy-(két-)lépéses következtetés megfogalmazása.
Például egyenlet megoldása lebontogatással.					
Alkalmazás alkotásokban.	Például transzformációk alkalmazása szerkesztésben. Szerkesztések alkalmazása összetett számítási feladatokban.					

4. Problémakezelés és -megoldás
Fejlesztési területek, célok	Példák					
Probléma felismerése (problémahelyzet átélése); problémaérzékenység.	Ismert helyzetet „zavaró” új momentum megjelenésének észlelése; ennek tudatosítása, esetenkénti megfogalmazása.					
Megfogalmazott probléma megértése; a megértést segítő eszközök alkalmazása. 
	Szituációban, történetben megfogalmazott probléma megértése (lejátszás természetes helyzetben, képalkotás, kirakással való lejátszás, beszélgetés a helyzetről, kérdések megfogalmazása, ismert, a probléma szempontjából lényeges adatok tudatosítása, elválasztása a lényegtelenektől).					
Az ismert elemek és az ismeretlen momentumok „ütköztetése”; sejtések, kérdések megfogalmazása. Egyszerű probléma áttekintése.						
A probléma megoldására való készség, a probléma vállalása.	A problémahelyzetben kialakult feszültség feloldására való törekvés megoldás keresésével.
Sikertelen megoldási kísérlet után újjal való próbálkozás. A sikertelenség okának feltárása, pl. kihagytunk egy feltételt.					
A problémához hasonló egyszerűbb (már megoldott) probléma keresése.						
Megoldási kísérletek, tippelések szabad végzése, összevetése a kapott információkkal, valósággal.	Önálló eljárások keresése, megformálása, ellenőrzése.					
Matematikai modell keresése, alkotása.	A probléma részekre bontása; összetett probléma áttekintése.
Átfogalmazás más, ismertebb problémává; analógia keresése.
A problémához illeszthető matematikai modell választása (például egyszerűsített kirakás, mozgatható modell, egyszerűsített rajz, szakaszos ábra, diagram, gráf, koordinátasík, vektorok, számfeladat, nyitott mondat, sorozat, táblázat, számítógépes program...).
Matematikai modell készítése matematikán belüli és gyakorlati problémákhoz, például új változó bevezetése egyenlet megoldásakor.					
Megoldás a matematikai modellen belül; önellenőrzés.	A matematikai modellbe átfogalmazott probléma megoldása (leolvasás a rajzról, műveletek elvégzése, nyitott mondat megoldása, sorozat, táblázat további elemeinek keresése, összefüggések leolvasása, általánosítása). A megoldás helyességének ellenőrzése a modellen belül (a megállapítások igazságának ellenőrzése, a számítások helyességének összevetése előzetes becsléssel, ellenőrzés, például inverz művelettel...).
Matematikai modellek (pl. nyitott mondatok, gráfok, sorozatok, függvények, függvényábrázolás, számítógépes programok, statisztikai elemzések...) ismerete, alkalmazásának módja, korlátjai (pontosság, értelmezhetőség...).
Az eredményért való felelősségvállalás.					
Az eredmény vonatkoztatása az eredeti problémára. Az eredmény összevetése a feltételekkel, az előre vetített eredménnyel, valósággal.	A modellben kapott megoldás visszahelyezése az eredeti problémába: értelmezése a kérdésre adható válaszként.
A válaszként kapott eredmény összhangban van-e a feltételekkel, a probléma adataival; megfelel-e az előre megfogalmazott becsléseknek, sejtéseknek; elképzelhető-e a valóságban.					
Diszkusszió.	A lehetőségek számbavétele. A feltételekkel való összevetés során annak tudatosítása, hogy miben és hogyan befolyásolják a feltételek az eredményt. Ha elhagyjuk, megváltoztatjuk valamelyiket, hogyan módosul a megoldás?					
Válasz megfogalmazása.	(A kérdésre adható szóbeli vagy írásbeli válasz megfogalmazása tudatosítja a modellben kapott megoldás eredeti problémára való vonatkoztatását.)					

5. Alkotás és kreatív képességek: alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás
Fejlesztési területek, célok	Példák					
Objektumok alkotása.	Alkotás szabadon; másolással.
Adott tulajdonságú, adott feltételnek megfelelő tárgyak, képek keresése, kirakások; képek alkotása lejátszott, elmondott helyzetről és adott feltételnek megfelelően: színezések, építmények, alakzatok, számok... Vonalzó és körző használata. Szerkesztés adott feltételekkel, adott eszközökkel. 					
Állítások, kérdések megfogalmazása.	Képről, helyzetről, történésről szabadon vagy felszólításra alkotott mondatok. 
Saját gondolatok megfogalmazása szóban, írásban; elképzelések, definíciók és tételek alkotása, megfogalmazása, kimondása, leírása.					
Összességek alkotása adott feltétel szerint; halmazalkotás.	Adott tulajdonságú elemek összeválogatása; a „tulajdonság” megalkotása a halmazba sorolt elemek közös, meghatározó ismérveként; a tulajdonság tagadásának megalkotása a komplementer halmaz elemeinek közös, meghatározó ismérveként.
Adott feltétel szerint alkotható összes elem megkeresése, megalkotása (pl. adott tulajdonságú kétjegyű számok; egy szám összes osztója, egyenlet, egyenlőtlenség megoldása [igazsághalmaza], adott feltételnek megfelelő rácsnégyszögek, adott tulajdonságú ponthalmazok...).					
Fogalmak alkotása.

•	Fogalmak módosulása újabb tapasztalatok, ismeretek szerint.

•	Fogalmak alkotása specializálással.	Összességek elemeinek közös, meghatározó, lényeges tulajdonságainak szintetizálása; további példák besorolása, ellenpéldák kiszűrése a meghatározó ismérvek szerint.
Egy-egy fogalom újabb fogalommá bővítése (pl. a szám fogalma előbb csak a természetes számot jelenti, aztán bővül egész, racionális, valós... számok körére). A hatványozás kiterjesztése negatív és törtkitevős esetekre.
Például a négyzet speciális téglalap; a szabályos háromszög egyféle alak a háromszögek közül, a lineáris függvény különleges tulajdonságú függvény...					
Jelölések, szimbólumok, elnevezések alkotása.	Alkalmi elnevezések a képzethez, előfogalomhoz jól illeszkedő köznyelvi szavakkal; például a lépcsőépítés során megismert háromszögszámok a „lépcsősszámok”; a negatív szám fogalom egyik tapasztalati tartalma szerint kezdetben lehet adósságszám...
A tízesekre kerekítéssel kapott 300 alkalmi jelölése lehet 30o, százasokra kerekítés esetén pedig 3oo-nak jelölhetjük...					
Rendszeralkotás.	Adott feltételek szerint alkotott vagy gyűjtött elemek elrendezése különféle szempontok szerint. Egy-egy kiválasztott szempont követése; az alakuló rendszer kiegészítése további elemek alkotásával.
Rendszerezést segítő eszközök (fadiagram, útdiagram, táblázatok) használata, készítése.
Megalkotott rendszer átalakítása (kibővítése, szűkítése, átstrukturálása).
A kombinatorikus gondolkodás fejlesztése.					
Sorozatok alkotása.	Megfigyelésben, mérésben, számlálásban, számolásban gyűjtött adatok, elemek sorozatba rendezése; a keletkező sorozat tulajdonságainak, szabályosságának vizsgálata.
Megkezdett sorozat folytatása, kiegészítése adott szabály szerint, felismert összefüggés alkalmazásával. Az „összefüggés” megalkotása a sorozat elemei közti kapcsolat általánosításaként; ellenőrzése.					
Táblázatok készítése.	Megfigyelésben, mérésben, számlálásban, számolásban, kísérletben gyűjtött adatpárok, adat-hármasok rendezése (pl. táblázatba), kapcsolatok vizsgálata.
Táblázat hiányzó adatainak keresése adott szabálynak, összefüggésnek megfelelően, illetve felismert kapcsolat szerint. Az „összefüggés” megalkotása a táblázat elempárjai (elem-hármasai) közti kapcsolat általánosításaként; ellenőrzése.					
Modell alkotása helyzet megértéséhez.	Eljátszás, mímelés, képek, egyszerűsített képek, egyszerűsített mozgatható kirakások, szakaszos ábrák, gráfok készítése probléma, szöveges feladat értelmezéséhez.					
•	Modell alkotása, értelmezése fogalmakhoz.	A természetes szám mint modell kezelése (különféle fogalmi tartalmak – darabszám, mérőszám, értékmérő, jel – szerint), tört szám, negatív szám, egész szám, racionális szám modellként való kezelése; számegyenes; az aritmetikai műveletek mint történések és viszonyok matematikai modelljei; egyenletek, egyenlőtlenségek; reláció, függvény, sorozat mint modellek.
Ábra, diagram mint modell.
Geometriai modellek; koordinátageometriai modellek.
Valószínűségi modellek.
Kombinatorikus modellek.					
•	Modell alkotása problémamegoldásához.	Eljátszás, mímelés, képek, egyszerűsített képek, egyszerűsített mozgatható kirakások, szakaszos ábrák, gráfok, számfeladatok, nyitott mondatok, sorozatok, táblázatok készítése és értelmezése, olvasása probléma, szöveges feladat megoldásához; probléma és modell „elemeinek” tudatos összerendezése.					
•	Átkódolás különböző modellek között.	Áttérés egyik matematikai modellről egy másik matematikai modellre. Például színes rudakkal eljátszott összefüggésről szakaszos ábra, szakaszos ábráról nyitott mondat; nyitott mondat – függvény.					
Sejtések megfogalmazása; divergens gondolkodás.	Megértett probléma „eredményének” (megoldásának) elképzelése, előrevetítése; a sejtés megfogalmazása, lejegyzése, megoldás utáni ellenőrzése. Becslés. Újabb lehetőségek, kérdések, újabb problémák felvetése, feltételek változtatása. („Mi lenne, ha...?”)					
Gondolatmenet kiépítése (pl. „megoldási terv” szöveges feladathoz).	Manuálisan elvégzett tevékenység gondolati lépésekként való értelmezése, tudatosítása.
Megértett probléma részletproblémákra bontása modell nélkül vagy modell segítségével; a részletproblémák sorrendbe állítása pl. megoldhatóságuk időrendje szerint; az így képzett terv tudatosítása elmondással, írásban, jelsorozattal (folyamattervezés). A tervkészítés módjának megalkotása.
Stratégia alkotása.					
Kidolgozás megalkotása.	Az eltervezett megoldás lépéseinek végrehajtása; a részeredmények értelmezése, a végeredmény vonatkoztatása az eredeti problémára, válaszadás (diszkusszió nélkül, illetve diszkusszióval).					

6. Akarati, érzelmi, önfejlesztő képességek és együttéléssel kapcsolatos értékek fejlesztése
6.1 Kommunikáció
Fejlesztési területek, célok	Példák					
Kommunikáció nyelvhasználat előtt.	Lejátszás, kirakás, megmutatás, mímelés mint gondolatok kifejezése; ezek értése.					
Elnevezések, megállapodások, jelölések értése, kezelése.	Köznyelvi szavak használata és elfogadása előfogalmak jelölésére; egyszerű szakszavak és jelölések alakuló és kialakult fogalmak megnevezésére; a kifejezések pontosítása.
Adott véges számosság képe; számok és jelöléseik; műveletek jelölése, egyenlőség és egyenlőtlenség jelölése, mérések, mértékegységek.					
A matematika tanulásához szükséges nyelvi-logikai szerkezetek fokozatos megismerése.	A köznyelv és a matematikai nyelv különbözőségeinek és értékeinek megértése és elfogadása.
Negáció (tulajdonság, ítélet, nyitott mondat negációja), logikai „és”, „vagy”, „legalább”, „legfeljebb”, „ha..., akkor”, „csak akkor..., ha”.
Egyszerű következtetések.
Definíció.					
Mások gondolatainak megértésére törekvés.	Tudatos odafigyelés; példák és ellenpéldák keresése, kérése; kérdések megfogalmazása; magyarázat kérése; átfogalmazásra tett próbálkozások (úgy érted, hogy...?); egyszerű következtetésre tett próbálkozások (eszerint akkor...?).					
Saját gondolatok kifejezése, rögzítése.	Szóbeli elmesélés; matematikai szöveg írása, értelmezése, jegyzet készítése, visszaolvasás; jegyzetfüzet vezetése.					
Saját gondolatok megértetésére való törekvés.	Szóbeli érvelés: szemléletes indoklás; egyszerű bizonyítás, írásbeli érvelés, bizonyítás írásban, jelek használatával sejtések megfogalmazása, sejtések megerősítése, elvetni tudása.
Bizonyítás alapgondolatának kiemelése.					

6.2 Együttműködés
Közös munka vállalása; együttműködés, egymásra figyelés; egyéni felelősség és közös felelősségvállalás.	Páros munka, kiscsoportos munka, csoportmunka.					
A munka tervezése, szervezése, megosztása.						
Egyéni adottságok, képességek és igények figyelembevétele a közös eredmény érdekében, és tiszteletben tartása az egyén fejlődése szolgálatában; tolerancia, egymás segítése.						
Vitakészség, kifejezőképesség.						
A részeredmények értelmezése, értékelése, összerendezése.						
Projektben való együttműködés.						

6.3 Motiváltság
A világ megismerésének igénye.	A matematikai ismeretek kezdetben közvetlenül a világ tárgyainak, jelenségeinek megismeréséhez járulnak hozzá. Eszközt és módszert adnak különféle tulajdonságok megfigyeléséhez, kiemeléséhez, tárgyak, jelenségek jellemzéséhez. A szűkebb és egyre bővülő környezet iránti kíváncsiság lehet a tanulás egyik hajtóereje.					
A matematika értékeinek és eredményeinek megismerésére való igény.	A hasznosság (más tudományok, gyakorlati élet területén), a gondolatok, gondolatmenetek, minták, struktúrák… érdekessége, szépsége tegye vonzóvá kinek-kinek a számára a tárgy tanulását.					
A matematikai módszerek és eszközök megismerésének igénye.	A matematika módszerei és eszközei a gondolkodás számos területére pozitív transzferhatást gyakorolhatnak. 					
A saját képességek és műveltség fejlesztésének igénye.	Az „én is tudom”, „én is meg tudtam oldani”, „én találtam ki” élménye a fejlődés egyik leghatékonyabb hajtóereje. Az önállósodás, függetlenedés igénye, a saját értékek érvényesítésének igénye (helyes pedagógusmagatartás esetén) háttérbe szorítja, sőt egy idő után szükségtelenné is teheti a „külső” motivációt.					

6.4 Önismeret, önértékelés, reflektálás, önszabályozás
Önismeret.
•	Saját értékek, saját korlátok ismerete.
•	Saját részképességek ismerete.	
Technikák megismerése ezek kompenzálására.

Pontosság, tervszerűség, monotóniatűrés, kitartás a munkában, kudarctűrés, megnyilatkozni tudás, önfegyelem, egyéni felelősség, kíváncsiság…
A fentiek tudatosítása.					
Önértékelés.						
Önellenőrzés.
•	Az érzelmi reakciók, és kontrollálásuk.
•	Önmotiválás.						

7. A matematika épülésének elvei
Fejlesztési területek, célok	Példák					
Modellek alkotása.	Modellek a matematikán belül; matematikán kívüli problémák modellezése.					
Az egyértelműség igénye, például definíciók bevezetésének szükségessége.	Szemléletes fogalmak használata, definiált fogalmak megismerése, definíciók alkotása.					
A minden esetre való alkalmazhatóság, különös esetekre való kiterjesztések, permanenciaelv.	Az algebrai nyelv jelentősége; a hatványozás, a szögfüggvények fogalmának kiterjesztése.					
Axiomatizálás egyszerű példán való bemutatása.